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Mandelbrotmenge

„Wenn Mathematik mal schön ist.“

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Zahlen Quadrieren

x =

Am Zahlenstrahl

x =

-2

-1

Komplexe Zahlen

Bsp.

x_{1, 2} = 1 / 2 \pm \sqrt{- 3}

Schulmathematik sagt unlösbar! Was sagt die Uni?

$N :$ $x + 5 = 2$
$Z :$ $5 * x = 2$
$Q :$ $x * x = 2$
$\mathbb{R}:$ $x*x=-1$
$\mathbb{C}:$ $i^2=-1$

Komplexe Zahlenebene

1 / 4

Reelle Zahlen auf einem Zahlenstrahl.

Form

Kartesisch

$z=a+b*i$

Umrechnung

$a=r*cos(\varphi)$$b=i*r*sin(\varphi)$

Polar

$z=r*(cos(\varphi)+sin(\varphi)*i)$

Umrechnung

$r=\sqrt{a^2+b^2}$$\varphi=tan^{(-1)}(b/a)$

„Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.“
- Benoît Mandelbrot

* 20. November 1924 in Warschau;
† 14. Oktober 2010 in Cambridge

Mandelbrotmenge

PictureMandelbrot

$z=(a+b*i)^2$

$z_0=z^2 + c$

$z_0=0$
$z_{n+1}=z_n^2 + c$

1 / 3Controls

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Was ist ein Fraktal?

1 / 5

Grob erklärt

Unendlich zerfranzt
Siehe Wolken, Bäume, Schneeflocken
Sierpinski Dreieck
Beispiel Romanesco

Genauer erklärt

“Ausgedehnte Objekte”
Gebrochene räumliche Dimension
Auch “fraktale Dimension” genannt

1<!DOCTYPE html>
2<html lang="de">
3	<head>
4		<meta charset="UTF-8" />
5		<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
6		<meta name="keywords" content="mandelbrot, react, three" />
7		<meta name="author" content="Calvin Hinzer" />
8		<meta name="description" content="this took way too long" />
9		<title>Mandelbrotmenge</title>
10	</head>
11	<body>
12		<canvas id="myCanvas" width="800" height="800"></canvas>
13		<script>
14			var canvas = document.getElementById("myCanvas")
15			var context = canvas.getContext("2d")
16
17			// Durchlaufe alle Zeilen des zu zeichnenden Bildes
18			for (var pixelzeile = 0; pixelzeile < 200; pixelzeile++) {
19				// Durchlaufe alle Spalten der jeweiligen Zeile
20				for (var pixelspalte = 0; pixelspalte < 200; pixelspalte++) {
21
22					// Zähler für Iterationen für aktuelles Pixel
23					var iterationen = 0
24
25					// Berechnung der X-Verschiebung für bessere Darstellung
26					var xverschiebung = -2 + pixelzeile / 50
27
28					// Berechnung der Y-Verschiebung für bessere Darstellung
29					var yverschiebung = -2 + pixelspalte / 50
30
31					// Anlegen/Nullen der Variable für den Realteil des Punktes über den iteriert wird
32					var zx = 0
33
34					// Anlegen/Nullen der Variable für den Imaginärteilteil des Punktes über den iteriert wird
35					var zy = 0
36
37					// While-Schleife in der die tatsächliche Iterierung stattfindet. Bruchbedingungen sind maximal 255 Iterationen (aufgrund von Performance) oder das Überschreiten der Grenze 4 (siehe Beweis) durch Quadrierung des Betrags der jeweiligen Iteration
38					while (iterationen < 255 && zx * zx + zy * zy < 4) {
39
40						// Temporäre Variable in der Produkt aus Imaginär- und Realteil gespeichert wird
41						var xtemp = zx * zy
42
43						// Überschreiben des Realanteils durch Realanteil des Quadrats der komplexen Zahl, ausnutzen von (zx+zy)*(zx+zy)=zx^2-zy^2+2*zx*zy
44						zx = zx * zx - zy * zy + xverschiebung
45
46						// Überschreiben des Imaginäranteils durch Imaginäranteil des Quadrats der komplexen Zahl
47						zy = 2 * xtemp + yverschiebung
48
49						// Erhöhen des Iterationszählers
50						iterationen++
51					}
52
53					// Festlegen eines RGB-Werts für jeweiliges Pixel abhängig von Anzahl durchlaufender Iterationen
54					var color = iterationen.toString(16)
55
56					// Element für Pixel anlegen
57					context.beginPath()
58
59					// Entsprechenden Block füllen
60					context.rect(pixelzeile * 4, pixelspalte * 4, 4, 4)
61
62					// Farbe für Block festlegen
63					context.fillStyle = "#" + color + color + color
64
65					// Block zeichnen
66					context.fill()
67				}
68			}
69		</script>
70	</body>
71</html>

Eine Reise in die Mandelbrotmenge

17. Details einer Spirale.

25. Juni 2021

16. Details einer Insel.

24. Juni 2021

15. Gemeine Julia-Menge

21. Juni 2021

14. Teil des „Doppelhakens“

18. Juni 2021

13. Happy Birthday!

12. Juni 2021

12.

8. Juni 2021

11.

1. Juni 2021

10. „Tal der Seepferdchen“ des Satelliten. Es zeigen sich die gleichen Strukturelemente wie in Ausschnitt 2.

28. Mai 2021

9. „Antenne“ des Satelliten

21. Mai 2021

8. Déjà-vu

19. Mai 2021

13. Mai 2021

9. April 2021

5. Der „Seepferdchenschwanz“ endet im sogenannten Misiurewicz-Punkt.

1. Mai 2021

30. April 2021

3. Links Doppelspiralen, rechts „Seepferdchen“.

27. April 2021

2. Spalte zwischen „Kopf“ und „Körper“, „Tal der Seepferdchen“ genannt.

23. April 2021

1. Mandelbrot-Menge

12. April 2021

Julia-Menge

$z_{n+1}=z_n^2 + c$
Unterscheidet sich von der Mandelbrotmenge nur durch die Addition der Konstanten c
Bei Mandelbrot: für jeden Bildpunkt andere Konstante, bei Juliamenge: für jeden Punkt gleich

Realanwendungen

Key Size	Fractals Keyspace	DH (primes) keyspace
8-bit	256	54
16-bit	25536	6542
32-bit	4294967296	193635250
64-bit	18446744073709551616	415828533893661771

Mandelbrot- und Julia-Menge Schlüsseltausch

Verschlüsselung auf Basis von Diffie-Hellman mit Mandelbrot und Julia-Menge
Bei der gleichen Schlüsselgröße mehr mögliche Variationen, wie der Schlüssel aussieht im Vergleich zu Diffie-Hellman

Ausblick

What's so special about the Mandelbrot Set?

The Mandelbrot Set

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Fragen?

Justus Bringer,
Arwin Epackchi,
Angelina Cecilia-Marie Hesse,
Calvin Hinzer,
Justin Huynh,